Penemu Roda Berlapis Karet Adalah

Di dalam matematika,
akar kuadrat

pecah garis hidup
x

begitu juga bilangan
r

sedemikian sehingga
r

²

=
x, maupun, di privat congor enggak, kodrat
r

yang bila dikuadratkan (hasil barangkali dengan qada dan qadar itu koteng) seperti mana
x. Setiap ganjaran sungguhan bukan-merusak, katakanlah
x

n kepunyaan akar susu kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut
akar payudara kuadrat utama, nan dilambangkan oleh akar tunjang ke-falak sebagai

$$

x











{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}

. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, seumpama
x

^1/2. Misalnya, akar susu kuadrat utama dari 9 yakni 3, dituliskan dengan

$$

9





=

3







{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {9}}=3}

, karena
3²

= 3 × 3 = 9

dan 3 lain-negatif. Bagaimanapun, akar tunggang kuadrat terdahulu berpokok sebuah bilangan konkret namun suatu mulai sejak dua akar tunggang kuadratnya.

Setiap bilangan aktual
x

memiliki dua akar tunggang kuadrat. Keseleo satunya adalah

$$

x











{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}

, ialah yang bernilai kasatmata, temporer yang lainnya adalah

$$

−





x











{\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {x}}}

, ialah yang bernilai merusak. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan

$$

±





x











{\displaystyle \scriptstyle \pm {\sqrt {x}}}

. Akar susu kuadrat terbit qada dan qadar negatif dibahas di n domestik kerangka kajian qada dan qadar kompleks. Lebih publik lagi, akar kuadrat boleh dipandang bermula beraneka konteks di mana notasi “penguadratan” sejumlah mangsa ilmu hitung didefinisi (tertulis aljabar matriks, bekas endomorfisma, dll).

Akar susu kuadrat berpokok suratan buntak nan tak merupakan kuadrat contoh yakni camar
bilangan irasional

(disebut juga
bilangan takrasional: garis hidup yang tidak bisa dinyatakan seumpama hasil untuk pecah dua qada dan qadar buntar. Misalnya,

$$

2











{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}

$$

2











{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}

Radikan

yakni bilangan atau penyajian matematika di radiks segel akar tunggang. Di dalam pengajuan

$$

a

b

+

2





n













{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{lengkung langit}]{ab+2}}}

,
ab

+ 2 adalah radikan.

Rasam



[sunting

|
sunting sumber]

Guna akar susu kuadrat penting

$$

f

(

x

)

=





x











{\displaystyle \scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}}

$$

x











{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}

• Bakal setiap bilangan real
  x

x



2









=



|

x

|



=





{







x

,









if





x

≥

0









−

x

,









if





x

<

0.

















{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}

(lihat nilai otoriter)

• Lakukan setiap ganjaran benaran taknegatif
  x
  
  dan
  y,

$$

x

y





=





x









y









{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}

dan

$$

x





=



x



1



/



2





.





{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}

• Keefektifan akar susu kuadrat adalah terus-menerus kerjakan setiap suratan taknegatif
  x
  
  dan terdiferensialkan bagi setiap predestinasi positif
  x. Turunannya diberikan oleh

$$

f

′



(

x

)

=





1



2





x











.





{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}

• Deret Taylor dari √1 +
  x
  
  
  
  di rapat persaudaraan
  x
  
  = 0 konvergen ke |x | < 1 dan diberikan maka itu

$$

1

+

x





=

1

+







1

2





x

−





1

8







x



2





+





1

16







x



3





−





5

128







x



4





+

…









{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!}

Akar tunggang kuadrat berbunga bilangan buntar positif



[sunting

|
sunting sumber]

Ketentuan kasatmata n kepunyaan dua akar kuadrat, satu positif, dan suatu negatif, nan antagonistis satu sama tak. Momen berbicara tentang akar tetek kuadrat berusul garis hidup buntak kasatmata, umumnya yang dimaksud ialah akar magrib kuadrat aktual.

Akar tunggang kuadrat dari bilangan bulat ialah ketentuan bulat aljabar, bertambah spesifiknya kadar buntak kuadrat.

Akar tunggang kuadrat dari takdir bulat positif yaitu hasil kelihatannya dari akar faktor prima, karena akar susu kuadrat dari suatu perbanyakan adalah hasil bisa jadi berbunga akar kuadrat faktor. Maka

$$

p



2

k









=



p



k





,





{\displaystyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}

$$

p



1





2



e



1





+

1





⋯



p



k





2



e



k





+

1







p



k

+

1





2



e



k

+

1









…



p



n





2



e



n













=



p



1







e



1









…



p



n







e



falak















p



1





…



p



k









.





{\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{lengkung langit}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{cakrawala}^{e_{t}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}

Bak peluasan puluh



[sunting

|
sunting mata air]

Akar kuadrat dari kuadrat hipotetis s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) ialah kadar bundar. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat berpunca bilangan bulat faktual yaitu bilangan irasional s, dan kesudahannya memiliki non-puluh tautologis n domestik representasi puluh. Taksiran desimal dari akar susu kuadrat dari sejumlah bilangan safi permulaan diberikan dalam tabulasi berikut.

t	$$ t , {\displaystyle {\sqrt {ufuk}},} dipotong menjadi 50 tempat desimal
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.73205080756887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2.23606797749978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.44948974278317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2.64575131106459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2.82842712474619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3.16227766016837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Ibarat ekstensi intern sistem angka lainnya



[sunting

|
sunting mata air]

Sebagaimana sebelumnya, akar tunggang kuadrat dari kuadrat pola (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah kodrat bulat. N domestik semua kasus lainnya, akar kuadrat semenjak garis atma melingkar faktual ialah bilangan irasional s, dan makanya karena itu mempunyai digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.

Akar susu kuadrat dari qada dan qadar buntar kecil digunakan di kedua desain kemustajaban hash SHA-1 dan SHA-2 buat memasrahkan enggak cak semau predestinasi lengan.

Andai pecahan lanjutan berkala



[sunting

|
sunting sendang]

Riuk suatu hasil paling kecil menarik berusul penyelidikan ganjaran irasional s karena belahan kontinu diperoleh dengan Joseph Louis Lagrange
ca.

1780. Lagrange menemukan bahwa representasi pecah akar susu kuadrat tiba sejak ketentuan bulat berwujud bukan kuadrat umpama belahan lanjutan ialah berkala. Artinya, contoh penyebut sepotong-sepotong tertentu tautologis sonder senggat masa dalam pecahan lanjutan. Intern kebaikan tertentu, akar tunjang kuadrat ini ialah ganjaran irasional yang paling kecil sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang tercecer dari qada dan qadar bundar.

$$ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}	= [1; 2, 2, …]
$$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
$$ 4 {\displaystyle {\sqrt {4}}}	= [2]
$$ 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}}	= [2; 4, 4, …]
$$ 6 {\displaystyle {\sqrt {6}}}	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
$$ 7 {\displaystyle {\sqrt {7}}}	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
$$ 8 {\displaystyle {\sqrt {8}}}	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
$$ 9 {\displaystyle {\sqrt {9}}}	= [3]
$$ 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}}	= [3; 6, 6, …]
$$ 11 {\displaystyle {\sqrt {11}}}	= [3; 3, 6, 3, 6, …]
$$ 12 {\displaystyle {\sqrt {12}}}	= [3; 2, 6, 2, 6, …]
$$ 13 {\displaystyle {\sqrt {13}}}	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
$$ 14 {\displaystyle {\sqrt {14}}}	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
$$ 15 {\displaystyle {\sqrt {15}}}	= [3; 1, 6, 1, 6, …]
$$ 16 {\displaystyle {\sqrt {16}}}	= [4]
$$ 17 {\displaystyle {\sqrt {17}}}	= [4; 8, 8, …]
$$ 18 {\displaystyle {\sqrt {18}}}	= [4; 4, 8, 4, 8, …]
$$ 19 {\displaystyle {\sqrt {19}}}	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
$$ 20 {\displaystyle {\sqrt {20}}}	= [4; 2, 8, 2, 8, …]

Notasi kurung pengkolan yang digunakan di atas adalah kependekan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam gambar aljabar yang kian indikatif, pecahan lanjutan primitif untuk akar tunggang kuadrat berpokok 11, [3; 3, 6, 3, 6, …], terbantah seperti mana ini:

$$

11





=

3

+

















1



















3

+

















1



















6

+

















1



















3

+

















1



















6

+

















1



















3

+

⋱























































{\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}

di mana teladan dua digit {3, 6} tautologis sekali pun dan juga sreg penyebut fragmentaris. Karena
11 = 3²

+ 2, di atas juga identik dengan belahan lanjutan awam:

$$

11





=

3

+

















2



















6

+

















2



















6

+

















2



















6

+

















2



















6

+

















2



















6

+

⋱



















































=

3

+

















6



















20

−

1

−

















1



















20

−

















1



















20

−

















1



















20

−

















1



















20

−

⋱



















































.





{\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}

Akar susu kuadrat dari bilangan subversif dan obsesi



[sunting

|
sunting sumber]

Kuadrat dari ketentuan berwujud ataupun negatif ialah nyata, dan kuadrat 0 merupakan 0. Maka itu karena itu, tidak cak semau garis hidup subversif nan boleh punya akar tunjang kuadrat kasatmata. Namun, dimungkinkan kerjakan berkreasi dengan koleksi bilangan nan lebih inklusif, yang disebut bilangan obsesi s, yang memang kebal solusi cak bagi akar tunggang kuadrat semenjak bilangan destruktif. Ini dilakukan dengan mengegolkan angka baru, dilambangkan dengan


i


(terkadang


j
, terutama internal konteks listrik di mana “

i
” secara tradisional mengambil alih arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang


didefinisikan


sedemikian rupa


i

²

= −1. Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap


i


laksana akar kuadrat dari −1, doang kita kembali n kepunyaan
(−i)²

=
i

²

= −1

dan tanda jasa sartan –


i


juga yaitu akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar susu kuadrat terdahulu berpunca −1 ialah


i
, maupun lebih umum pun, sekiranya


x


merupakan bilangan nonnegatif segala apa apa pun, akar kuadrat utama terbit


x


yakni

$$

−

x





=

i





x





.





{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}

Ruas kanan (dan lagi negatifnya) memang yaitu akar kuadrat berusul


x
, maka

$$

(

i





x







)



2





=



i



2





(





x







)



2





=

(

−

1

)

x

=

−

x

.





{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}

Buat setiap suratan kegandrungan tak kosong


z


terletak tepat dua kadar


w


sedemikian rupa


w

²

=
z

: akar tunjang kuadrat utama bermula


z


(didefinisikan di asal), dan negatifnya.

Akar kuadrat terdahulu terbit sebuah garis hidup kegandrungan



[sunting

|
sunting sumber]

Templat:Visualisation complex number roots Untuk menemukan definisi akar tunggang kuadrat nan memungkinkan kita mengidas satu nilai secara teguh, yang disebut nilai rahasia, kita start dengan memaki bahwa garis hidup obsesi segala pula


x


+


iy


bisa dilihat andai bintik di bidang, (x,
y), diekspresikan memperalat koordinat kartesius. Noktah yang sepadan boleh diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar bak lawan

$$

(

r

,

φ





{\displaystyle (r,\varphi }

), dimana


r


≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan

$$

φ





{\displaystyle \varphi }

$$

r



e



i

φ





.





{\displaystyle re^{i\varphi }.}

z

=

r



e



i

φ







 dengan



−

π

<

φ

≤

π

,





{\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ dengan }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}

kemudian kita tentukan akar kuadrat terdahulu dari


z


umpama berikut:

$$

z





=





r







e



i

φ



/



2





.





{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}

Kemujaraban akar tunggang kuadrat terdepan didefinisikan dengan menggunakan tunam riil nonpositif bagaikan potongan cabang. Kemujaraban akar tunjang kuadrat penting yakni holomorfik di mana-mana kecuali pada kumpulan bilangan real non-positif (plong betulan negatif selektif itu terlebih terus-menerus). Saf Taylor di atas bakal

$$

1

+

x









{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}

Di atas juga bisa dinyatakan dalam manfaat trigonometri:

$$

r



(



cos

⁡

φ

+

i

sin

⁡

φ



)







=





r







(



cos

⁡





φ

2





+

i

sin

⁡





φ

2







)



.





{\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}

Rumus aljabar



[sunting

|
sunting mata air]

Saat garis hidup tersebut diekspresikan memperalat koordinat Kartesius, rumus berikut boleh digunakan untuk akar susu kuadrat utama:<sup>[1]

[2]</sup>

$$

x

+

i

y





=















x



2





+



y



2









+

x



2







±

i















x



2





+



y



2









−

x



2







,





{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}

di mana tanda terbit penggalan imajiner berpokok akar dianggap setara dengan logo bagian imajiner berasal kadar zakiah, alias maujud kalau hampa. Fragmen positif bersumber kredit sosi sering enggak merusak.

Misalnya, akar susu kuadrat utama dari


±

i




diberikan maka dari itu:

i











=





1



2







+

i





1



2







=







2



2





(

1

+

i

)

,













−

i











=





1



2







−

i





1



2







=







2



2





(

1

−

i

)

.













{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}}

Garitan



[sunting

|
sunting sumber]

Berikut ini, kegandrungan


z


dan


w


bisa diekspresikan umpama:

dimana

−

π

<



θ



z





≤

π





{\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }

−

π

<



θ



w





≤

π





{\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }

.

Karena sifat berputusan bersumber maslahat akar tunjang kuadrat internal latar kompleks, hukum berikut ini merupakan
tidak bersusila

secara masyarakat.

Komplikasi serupa unjuk dengan kurnia mania lainnya dengan debirokratisasi cabang, misalnya, logaritma kegandrungan dan relasi
logz

+ bangkai kayuw

= gelondong(zw)

or
layon kayu(z

^*) = batang kayu(z)^*



yang tidak benar secara umum.

Salah mengandaikan salah suatu dari undang-undang ini mendasari bilang “bukti” yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu
−1 = 1:

−

1







=

i

⋅

i













=





−

1





⋅





−

1

















=







(



−

1



)



⋅



(



−

1



)



















=





1

















=

1













{\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}}

Pertepatan ketiga tidak dapat dibenarkan (tatap bukti lain legal). Ini dapat dibuat cak bagi membendung dengan mengubah kebaikan dari √ sehingga ini lain kembali mewakili akar susu kuadrat terdepan (lihat di atas) tetapi memilih cagak kerjakan akar susu kuadrat yang mengandung

$$

1





⋅





−

1





.





{\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}

$$

−

1





⋅





−

1





=

i

⋅

i

=

−

1





{\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}

jika cagak melibatkan +

i


atau

$$

−

1





⋅





−

1





=

(

−

i

)

⋅

(

−

i

)

=

−

1





{\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}

takdirnya simpang termasuk –

i
, sedangkan jihat kanan menjadi

$$

(



−

1



)



⋅



(



−

1



)







=





1





=

−

1

,





{\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}

dimana persamaan terakhir,

$$

1





=

−

1

,





{\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}

Akar ke-cakrawala dan akar susu polinomial



[sunting

|
sunting sumur]

Definisi akar tunjang kuadrat dari

$$

x





{\displaystyle x}

$$

y





{\displaystyle y}

$$

y



2





=

x





{\displaystyle y^{2}=x}

Akar pangkat tiga dari

$$

x





{\displaystyle x}

$$

y





{\displaystyle y}

$$

y



3





=

x





{\displaystyle y^{3}=x}

; dilambangkan

$$

x



3







.





{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}

Jika


t

yaitu takdir bulat nan lebih samudra dari dua,


relung langit

akar ke mulai sejak

$$

x





{\displaystyle x}

$$

y





{\displaystyle y}

$$

y



kaki langit





=

x





{\displaystyle y^{cakrawala}=x}

; dilambangkan

$$

x



tungkai langit







.





{\displaystyle {\sqrt[{t}]{x}}.}

Mengingat polinomial




p


, sebuah akar berbunga




p




adalah predestinasi


y

sebagaimana mana yang


p(y) = 0. Misalnya, akar magrib ke


horizon

berasal


x

merupakan akar tunggang berasal polinomial (plong


y)

$$

y



t





−

x

.





{\displaystyle y^{ufuk}-x.}

Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara masyarakat, akar tunggang suatu polinomial berderajat lima alias lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar tunggang ke


got langit.

Komputasi



[sunting

|
sunting sumber]

Sebagian lautan mesin hitung punya tombol akar susu kuadrat. Tali kerja komputer dan instrumen panjang usus lainnya juga sering kali digunakan bikin menghitung akar tunjang kuadrat. Programa gawai kepala dingin komputer galibnya menerapkan rutin (repetisi) nan baik bikin cak menjumlah keefektifan eksponensial dan logaritma natural ataupun logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat semenjak
x

memperalat identitas

$$

x





=



e







1

2





ln

⁡

x









{\displaystyle {\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}}

maupun

$$

x





=



10







1

2





gelondong

⁡

x





.





{\displaystyle {\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.}

Identitas yang setara dieksploitasi saat cak menjumlah akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.

Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal perumpamaan “Metode Babilonia” ataupun “Metode Heron” dinamai demikian cak untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron berbunga Iskandariyah nan pertama memaparkan metode ini.^[3]

Metode ini mengikutsertakan algoritme sederhana, nan menghasilkan suatu bilangan nan semakin menjurus angka akar kuadrat sememangnya tiap kali iterasi dilakukan. Untuk menentukan
r, akar tunjang susu kuadrat dari bilangan benaran
x:

1. Mulakan dengan skor pemulai faktual rambang
   r
   
   (semakin bersebelahan persaudaraan ke akar kuadrat
   x, semakin baik).
2. Tukar
   r
   
   dengan rata-rata antara
   r
   
   dan
   x/r, yakni:
   
   
   
   $$
   

   
   
   
   
   
   
   (
   
   r
   
   +
   
   x
   
   
   
   /
   
   
   
   r
   
   )
   
   
   
   /
   
   
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   {\displaystyle \scriptstyle (r+x/r)/2\,}

   

   (Yakni sepan lakukan mengambil ponten dekatan bersumber rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)

   
   

3. Ulangi ancang ke-2 sebatas
   r
   
   dan
   x/r
   
   cukup dempet dengan nilai yang diharapkan.

Kekusutan perian bagi menghitung akar tunjang kuadrat dengan
n

angka ketepatan seperti perkalian dua predestinasi yang memiliki
n-nilai.

Catatan



[sunting

|
sunting perigi]

Teks



[sunting

|
sunting mata air]

• Imhausen, Annette (2007).
  The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. hlm. 187-384. ISBN 0691114854.
  
  
  
  
  
  
• Joseph, George (2000).
  The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598.
  
  
  
  
  
  
• Smith, David (1958).
  History of Mathematics.
  2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307.
  
  
  
  
  
  

Pranala asing



[sunting

|
sunting sumur]

• Teknik soroban Jepang – Metode Hawa segara Fukutaro Kato
• Teknik soroban Jepang – Metode Takashi Kojima
• Algoritme, penerapan, dan lebih banyak juga – Halaman web akar tunggang kuadrat jiwa baik Paul Hsieh
• Prinsip menentukan akar susu kuadrat secara manual Diarsipkan 2009-10-16 di Wayback Machine.