Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran

02/11/2022

Salam Para Bintang

Garis singgung limbung
adalah garis yang mencelah lingkaran tepat lega satu titik dan bintik tersebut. Ada 3 tipe cara menentukan pertepatan garis singgung lingkaran merupakan jikalau diketahui:

Garis sentuh melalui satu tutul pada lingkaran
Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran
Garis sentuh gudi jikalau diketahui gradien garisnya

Sebelum kita meributkan topik ini perlu kalian pahami materi adapun persamaan lingkaran yaitu

Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Persamaan Landasan Kunci O(0,0)
Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Persamaan Lingkaran Pusat A(p,q)

1. KemiripanGaris S

inggung Kalangan melalui suatu bintik pada limbung

Paralelisme garis singgung dok melangkaui tutul pada lingkaran harus dipahami bahwa tutul nan dilalui garis terwalak
pada
lingkaran tersebut. Persamaan garis singgung landasan melewati suatu bintik pada guri tergantung resep lingkaran tersebut ialah perumpamaan berikut:

a. Persamaan Garis singgung galengan pusat O(0,0) pada titik
$A(x_{1},y_{1})$

Perhatikan gambar berikut:

Paralelisme garis singgungnya yakni:

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Transendental 1:

Pembahasan:

Pertama kita melakukan uji coba, apakah noktah(2,-3) terletak lega lingkaran $x^{2}+y^{2}=13$ , dengan mengerjakan subsitusi:

$2^{2}+(-3)^{2}=13$

$4+9=13$

$13=13 (terbukti)$

Karena titik (2,-3) terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=13$ , maka diperoleh pertepatan garis singgungnya adalah:

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

b. Persamaan Garis sentuh galengan pusat A(p,q) pada tutul
$M(x_{1},y_{1})$

Perhatikan gambar berikut:

Persamaan garis singgungnya adalah:

$(x_{1}-p)(x-p)+(y_{1}-q)(y-q)=r^{2}$

Sempurna 2:

Persamaan garis sentuh lingkaran melalui titik (3,1) pada lingkaran .
$(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=25$ dan titik singung A(-3,1)
.

$(-3-1)^{2}+(1-4)^{2}=25$

$16+9=25$

$25=25 (terbukti)$

Karena bintik (-3,1) terwalak plong galangan
$(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=25$
, maka diperoleh persamaan garis singgungnya adalah:

$(x_{1}-p)(x-p)+(y_{1}-q)(y-q)=r^{2}$

$(-3-1)(x-1)+(1-4)(y-4)=25$

$-4(x-1)-3(y-4)=25$

$-4x+4-3y+12=25$

$4x+3y + 9 = 0$

c. Pertepatan Garis singgung galengan
$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ pada titik
$M(x_{1},y_{1})$

Paralelisme garis singgungnya adalah:

$x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B( y+y_{1})+C=0$

Transendental 3:

Paralelisme garis singgung melampaui titik (2, 1) pada limbung

$L\equiv x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$

Pembahasan:

Pertama kita melakukan uji coba, apakah titik(2,1) terwalak lega lingkaran

$L\equiv x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$ , dengan melakukan subsitusi:

$L\equiv x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$

$2^{2}+1^{2}-2.2+4.1-5=0$

$0=0\, \, (terbukti)$

Karena tutul (2,1) terletak lega pematang

$L\equiv x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$ , maka diperoleh kemiripan garis singgungnya merupakan:

$x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B( y+y_{1})+C=0$

$2x+y-\frac{1}{2}.2.(x+2)+\frac{1}{2}.4(y+1)+5=0$

$2x+y-(x+2)+2(y+1)+5=0$

$2x+y-x-2+2y+2+5=0$

$x+3y+5=0$

Pertepatan garis senggol landasan melewati titik di asing lingkaran bisa dilihat bahwa ada sebuah titik di luar lingkaran, kemudian ditarik ke 2 tutul pada dok sehingga diperoleh garis menyinggung lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

Privat menentukan pertepatan garis singgung lingkaran terdapat 2 kaidah,yaitu:

1. Persamaan Garis Singgung melalui titik $A(x_{1},y_{1})\,$ di luar lingkaran.

Cara menentukan persamaan garis singgung:

Misalkan garis singgungnya y = mx + n
Subsitusi titik
$A(x_{1},y_{1})\,$ ke y = mx + falak dan diperoleh nilai n
Subsitusi skor n ke garis y = mx + cakrawala
Subsitusi garis yang baru diperoleh tersebut (dimana falak sudah lalu diganti) ke kemiripan Kalangan dengan menentukan nilai Diskriminan (D) yaitu D = 0
Dengan diperoleh nilai m, maka subsitusi nilai m ke garis yang bau kencur tersebut kembali.

Contoh 4:

Carilah persamaan garis singgung sreg lingkaran

$x^{2}+y^{2}=25$
nan boleh ditarik dari titik (7, –1).

Pembahasan:

Paralelisme garis singgung nan melalui (7, –1) dengan gradien m adalah :

y + 1 = m(x – 7)

y = mx – 7m – 1 … (1)

Substitusi (1) ke paralelisme gudi $x^{2}+y^{2}=25$ , diperoleh :

$x^{2}+(mx-7m-1)^{2}=25$

$x^{2}+\left ( (mx-7m)-1 \right )^{2}=25$

$x^{2}+\left ( mx-7m \right )^{2}-2(mx-7m)+1=25$
$x^{2}+m^{2}x^{2}-14m^{2}x+49m^{2}-2mx+14m+1=25$
$\left ( 1+m^{2} \right )x^{2}-(14m^{2}+2m)x+49m^{2}+14m-24=0$

Kemudian dicari skor Diskriminan, yaitu:

$D=b^{2}-4.a.c$

Mulai sejak bentuk persamaan kuadrat di atas, diperoleh :

$a=1+m^{2};\, \, \, b= -(14m^{2}+2m);\, \, \, c=49m^{2}+14m-24$

maka:

$D=\left ( -(14m^{2}+2m) \right )^{2}-4.(1+m^{2})(49m^{2}+14m-24)$

$D=196m^{4}+56m^{3}+4m^{2}-4(49m^{2}+14m-24+49m^{4}+14m^{3}-24m^{2})$

$D= -96m^{2}-56m+96$

Ingat, syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0, maka:

$-96m^{2}-56m+96=0$

$96m^{2}+56m-96=0$

$12m^{2}+7m-12=0\, \, (kedua \, \, ruas \, \, dibagi\, \, dengan\, \, 8)$

$(3m+4)(4m-3)=0$

$m=-\frac{4}{3}\, \, dan\, \, m=\, \frac{3}{4}$

Kemudian, subsitusi kredit $m=-\frac{4}{3}\, \, dan\, \, m=\, \frac{3}{4}$ , ke persamaan garis
y = mx – 7m – 1.
Sehingga diperoleh:

a. Pertepatan Garis Singgung dengan gradien $m=-\frac{4}{3}$ , yaitu:

$y=-\frac{4}{3}x-7\left ( -\frac{4}{3} \right )-1$

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{28}{3}-1$

$3y=-4x+28-3$

$4x+3y=25$

b. Paralelisme Garis Sentuh dengan gradien $m=\frac{3}{4}$ , yakni:

$y=\frac{3}{4}x-7\left ( \frac{3}{4} \right )-1$

$y=\frac{3}{4}x-\frac{21}{4}-1$

$4y=3x-21-4$

$3x-4y=25$

2. Menggunakan garis polar (Garis P versus)

Perhatikan rang berikut !

Takdirnya melewati titik

$A(x_{1},y_{1})\,$
di luar lingkaran ditarik 2 buah garis puas galengan dengan titik singgungnya
$B(x_{2},y_{2})\, \, dan\, \, C(x_{3},y_{3})$ , maka diperoleh pertepatan garis polar BC yaitu:

a. $x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

b. $(x_{1}-p)(x-p)+(y_{1}-q)(y-q)=r^{2}$

Cara mewujudkan persamaan garis sentuh lingkaran:

Membuat persamaan garis polar berusul titik
$A(x_{1},y_{1})\,$
terhadap lingkaran.
Subsitusi pertepatan garis polar ke persamaan lingkaran, dengan mengejar nilai x
Subsitusi angka x maupun y ke paralelisme garis polar, buat menentukan titik B dan titik C

Persamaan garis polar nan ditarik dari tutul A(2,2) terhadap lingkaran

$(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=16$ adalah…..

Pembahasan:

Purwa, menentukan garis polar ialah ditarik dari titik A(2,2) dengan ki akal guri (-3,1) dan ruji-ruji r = 4 dengan menggunakan rumus:

$(x_{1}-p)(x-p)+(y_{1}-q)(y-q)=r^{2}$

maka:

$(2+3)(x+3)+(2-1)(y-1)=16$

$5(x+3)+y-1=16$

$5x+15+y-1-16=0$

$5x+y-2=0$

jadi, paralelisme garis polarnya adalah $y=2-5x$

Kemudian, subsitusi
$y=2-5x$
ke pertepatan guri $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=16$ :

$(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=16$

$(x+3)^{2}+(2-5x-1)^{2}=16$

$(x+3)^{2}+(1-5x)^{2}=16$

$x^{2}+6x+9+1-10x+25x^{2}=16$

$26x^{2}-4x-6=0$

$13x^{2}-2x-3=0$

Dengan menunggangi rumus aksara, maka bisa diperoleh nilai x yaitu:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

a = 13 , b = -2 dan c = -3

$x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4(13)(-3)}}{2(13)}$

$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+156}}{26}$

$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{160}}{26}$

$x_{1,2}=\frac{2\pm 4\sqrt{10}}{26}$

$x_{1,2}=\frac{1\pm 2\sqrt{10}}{13}$

Jikalau $x_{1}=\frac{1+2\sqrt{10}}{13}$ maka diperoleh poin
$y=2-5x$ :

$y=2-5\left ( \frac{1+2\sqrt{10}}{13} \right )$

$y=\frac{26-5-10\sqrt{10}}{13}$

$y=\frac{21-10\sqrt{10}}{13}$

Jadi, noktah singgungnya yakni
$\left ( \frac{1+2\sqrt{10}}{13},\frac{21-10\sqrt{10}}{13} \right )$

Jikalau $x_{2}=\frac{1-2\sqrt{10}}{13}$ maka diperoleh $y=2-5x$ :

$y=2-5\left ( \frac{1-2\sqrt{10}}{13} \right )$

$y=\frac{26-5+10\sqrt{10}}{13}$

$y=\frac{21+10\sqrt{10}}{13}$

Jadi, titik singgungnya adalah $\left ( \frac{1-2\sqrt{10}}{13},\frac{21+10\sqrt{10}}{13} \right )$

3. PertepatanGaris S

inggung Lingkaran melangkahi satu tutul di luar lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dapat dinyatakan privat 3 bentuk merupakan berdasarkan pertepatan lingkarannya :

Persamaan garis sentuh galengan dengan gradien m terhadap galengan

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

Pertepatan garis singgungnya adalah:

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Persamaan garis singgung halangan dengan gradien m terhadap lingkaran

$\left ( x-p \right )^{2}+\left ( y-q \right )^{2}=r^{2}$

Paralelisme garis singgungnya ialah:

$y-q=m(x-p)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Kemiripan garis singgung dok dengan gradien m terhadap galengan

$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

Persamaan garis singgungya yakni:

$y-q=m(x-p)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Untuk menentukan niai p, q beserta ruji-ruji lingkaran dengan persamaan di atas, silahkan baca materi ini:

Baca Juga:

Dalam materi persamaan garis singgung lingkaran dengan diketahi gradien sering sekali ditemukan persaudaraan antara 2 garis ialah sebabat dan tegak verbatim, maka:

Teladan 6:

Persamaan garis senggol lingkaran dengan gradien 2 plong kalangan
$x^{2}+y^{2}=5$ adalah…..

Pembahasan:

Diketahui dan diperoleh bahwa m = 2 dan
$r=\sqrt{5}$
sehingga persamaan garis sentuh pematang dengan gradien 2 dan
$r=\sqrt{5}$
adalah:

Sempurna 7:

Persamaan garis senggol landasan dengan gradien 2 pada lingkaran
$\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=1$ adalah…..

Pembahasan:

Diketahui dan diperoleh bahwa m = 2 dan r = 1
sehingga pertepatan garis singgung lingkaran dengan gradien 2 dan r = 1
adalah:

$\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=1$

$y-q=m(x-p)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+1=2(x-2)\pm 1.\sqrt{1^{2}+1}$

$y+1=2x-4\pm \sqrt{2}$

$y=2x-5\pm \sqrt{2}$

Jadi, paralelisme garis singgungnya adalah $y=2x-5+ \sqrt{2}$ dan $y=2x-5- \sqrt{2}$

Teoretis 8:

Paralelisme garis singgung limbung

$x^{2}+y^{2}-12x+8y-48=0$ yang sejajar dengan x – 2y – 5 = 0 yaitu…..

Pembahasan:

Diketahui persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-12x+8y-48=0$ dan diperoleh:

Pusat landasan adalah (6,-4) dan kisi ialah:

$r=\sqrt{\frac{1}{4}(-12)^{2}+\frac{1}{4}(8)^{2}-(-48)}$

$r=\sqrt{36+16+48}$

$r=\sqrt{100}$

$r=10$

Dengan menentukan gradien garis singgungnya dimana sejajar dengan garis x-2y -5 = 0, sehingga diperoleh gradiennya adalah :

$m=\frac{1}{2}$

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung dengan rumus:

$y-q=m(x-p)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+4=\frac{1}{2}(x-6)\pm 10\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+1}$

$y+4=\frac{1}{2}(x-6)\pm 10\sqrt{\left ( \frac{5}{4} \right )}$

$y+4=\frac{1}{2}(x-6)\pm 5\sqrt{5}$

$2y+8=x-6\pm 10\sqrt{5}$

$x-2y-14\pm 10\sqrt{5}$

Kaprikornus, persamaan garis singgungnya yakni $x-2y-14\pm 10\sqrt{5}$

Teoretis 9:

Persamaan garis singgung lingkaran

$x^{2}+y^{2}=25$ yang meleleh lurus dengan 2y-x + 3 = 0 yakni…..

Pembahasan:

Diketahui persamaan galengan $x^{2}+y^{2}=25$ dan diperoleh:

Pusat kalangan yaitu (0,0) dan deriji-jari adalah 5

Dengan menentukan gradien garis singgungnya dimana tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0, sehingga diperoleh gradiennya adalah :

$m=\frac{1}{2}$

karena : $m_{1}.m_{2}=-1$ maka:

$m_{2}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$m_{2}=2$

Sehingga diperoleh persamaan garis senggol dengan rumus:

$y=2x\pm 5\sqrt{2^{2}+1}$
$y=2x\pm 5\sqrt{5}$

Source: https://www.ruangparabintang.com/2020/12/persamaan-garis-singgung-lingkaran.html

Posted by: bljar.com